まずブレーキのワイヤーをタイヤ側で外してから(ブレーキはワイヤーとの間でバネの力で引き合ってますので外れると急に跳ねたりしますので怪我をしないように注意してください)、ケーブルのチューブを抜いてみます。
錆が出ているだけならこの段階でケーブルを磨いて油を挿すだけでもかまいません。
ケーブルを交換するなら、ハンドル側のケーブルも外してしまいましょう、「タイコ」と呼ばれるT型の金具が引っかかっているだけなので、ブレーキワイヤーが緩んでいる今ならハンドルをめいっぱい握った状態でさらにワイヤーを緩めれば簡単に外れるはずです。
ケーブルは下部のミゾ(切れ込み)から抜けるはずですが、ハンドルのブレーキ固定部に引っかかって上手くワイヤーが抜けないことがありますが……冷静に、ワイヤーが固定されていたあたりが引っかかることもありますがこれも良く見ると切れ目があるので、回してハンドル下部の切れ目と、ワイヤー固定具の切れ目を合わせてください。
新しいケーブルを元と同じように組み付けましょう。
ケーブルが長すぎる場合はカットしてケーブルエンドのキャップを取り付けてください。
ケーブルの先にはめて、ペンチなどで押しつぶすだけです(100均でケーブルを買った場合はついてこないので、別途買いに行くかビニールテープでも巻いておくより仕方ありません)。
ざっくりした感じですが以上です。